Решение.
а) Так как периметр равен 4000, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 1 000 000. 
б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна   тогда другая сторона равна  В этом случае площадь прямоугольника равна  Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число  не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции  будет тем меньше, чем дальше находится число  от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при  а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно 199900% от числа 1. 
в) Пусть  ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна  Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем: 

Так как  и  ― целые числа, то число 200 000 кратно числу  
Заметим, что  так как  Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как  то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5. 
Возможны три случая: 
1) Число  не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100. 
2) Число  делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида  в искомый промежуток попадает только число  В этом случае  а площадь равна 937 500. 
3) Число  делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000. 

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000. 

Решение.
а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500. 

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна  В этом случае площадь прямоугольника равна  Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции  будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при  а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1. 

в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна  Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем: 

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a. 

Заметим, что  так как  Следовательно, требуется найти все делители числа , меньшие 50. Так как  то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем каждый из этих сомножителей может быть в степени, не превосходящей 4. 

Возможны три случая: 
1) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е.a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344. 

2) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400. 

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875. 

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.