Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна . Значит,  не может быть равным 38. 


б) Поскольку  является суммой двух чисел, не больших 19, получаем . Пусть . Рассмотрим разбиение числа  на 39 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна . Значит,  не может быть больше . 


в) Докажем, что число  удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: . Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: . Первую группу составим из  небольших слагаемых так, чтобы . Вторую группу составим из оставшихся слагаемых. 
Пусть . В этом случае  и . Поэтому ,  и . Тогда . 

Полученное противоречие доказывает, что . Поэтому сумма слагаемых во второй группе . 

Таким образом, число  удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел  не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение  — это 37,05. 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример. 

Рассмотрим моток веревки длиной  см. Условие того, что его можно разрезать на  стандартных кусков, записывается в виде  или  

а) В данном случае имеем  (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на  стандартных кусков, тогда При  получаем 


т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска. 

При  получаем  Значит, эту веревку можно разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков. 

б) Отрезки  и  являющиеся решениями неравенств  и имеют общие точки для всех  при которых  то есть при  Значит, любую веревку длиной  см или более можно разрезать на стандартные куски. 

Докажем, что веревку, длина которой больше  см, но меньше  см, нельзя разрезать на  стандартных кусков ни для какого  При  получаем  что противоречит условию  При  получаем  что противоречит условию  Таким образом, искомое число равно 2645. 

Ответ: а) 23; б) 2645.

Решение.
а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. 

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше . Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку  но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию. 

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10. 

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино. 

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится. 

По условию 


значит,  Тогда , поэтому доля девочек в группе: 


Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна . 

Ответ: а) да: б) 10; в) .

Решение.
a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна . Значит,  не может быть равным 34. 


б) Поскольку  является суммой двух чисел, не больших 17, получаем . Пусть . Рассмотрим разбиение числа  на 35 слагаемых, равных . При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна . Значит,  не может быть больше . 


в) Докажем, что число  удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление  в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: . Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: . Первую группу составим из  небольших слагаемых так, чтобы . Вторую группу составим из оставшихся слагаемых. 
Пусть . В этом случае  и . Поэтому ,  и . Тогда . 

Полученное противоречие доказывает, что . Поэтому сумма слагаемых во второй группе . 

Таким образом, число  удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел  не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение  — это . 

Ответ: а) нет; б) нет; в) .

Решение.
а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма: 

. 

б) Среди выписанных 50 чисел 25 чётных и 25 нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0. 

в) Заметим, что . Значит, между 8 
квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки 
так, что полученная сумма будет равняться 0: 


При  можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0. 

г) Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между 88 числами , , ..., ,  таким образом, чтобы их сумма равнялась 0. Перед  поставим знак «+». При такой расстановке знаков сумма равна  

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Решение.
а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма: 

. 

б) Среди выписанных 49 чисел 24 чётных и 25 нечётных. Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0. 

в) Заметим, что . Значит, между 8 
квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки 
так, что полученная сумма будет равняться 0: 


При  можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0. 

г) Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между 88 числами , , ..., ,  таким образом, чтобы их сумма равнялась 0. Перед  поставим знак «-». При такой расстановке знаков сумма равна  

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. 

б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. 

в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. 

Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8). 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. 

б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. 

в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. 

Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8). 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.