Решение.
а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске. 
б) Да, может. Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7). Сумма полученных 5 чисел равна 63. 
Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз. 
в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, т.е. 784, на 7. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1.
Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится. 
В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения, то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно , что меньше 112. 
Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно. 
Приведем пример, как его получить за 8 минут: 
1  1,2  1,2,4  1,2,4,8  1,2,4,8,16  1,2,4,8,16,32  1,2,4,8,16,32,64 
 1,2,4,8,16,32,64,96 (96 = 64 + 32 )  1,2,4,8,16,32,64,96,112 (112 = 96 + 16 ). 

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут. 

Решение.
а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 8. Действительно, исходное число делится на 8, в случае удвоения числа делящегося на 8, получится число, делящееся на 8. А при сложении чисел, делящихся на 8, также получится число, делящееся на 8. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 8, а 2012 на 8 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске. 
б) Может. Пример: 8, 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8). Сумма полученных 5 чисел равна 72. 
Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз. 
в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 8. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 8 и то число, которое нужно получить, т.е. 832, на 8. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 104, начав с числа 1.
Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 104 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 104 не получится. 
В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения, то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно , что меньше 104. 
Итак, за 7 минут число 104 получить невозможно. Приведем пример, как его получить за 8 минут: 
1  1, 2  1, 2, 4  1, 2, 4, 8  1,2 , 4, 8, 16  1, 2, 4, 8, 16, 32  1,2,4,8,16,32,64  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96, 104 . 

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут. 

Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. 

б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. 

в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. 
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8). 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю. 
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1. 
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4. 
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8). 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Решение.
Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример. 

Рассмотрим моток веревки длиной  см. Условие того, что его можно разрезать на  стандартных кусков, записывается в виде  или  

а) В данном случае имеем  (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на  стандартных кусков, тогда При  получаем 


т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска. 

При  получаем  Значит, эту веревку можно разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков. 

б) Отрезки  и  являющиеся решениями неравенств  и имеют общие точки для всех  при которых  то есть при Значит, любую веревку длиной  см или более можно разрезать на стандартные куски. 

Докажем, что веревку, длина которой больше  см, но меньше  см, нельзя разрезать на  стандартных кусков ни для какого  При  получаем  что противоречит условию  При  получаем  что противоречит условию  Таким образом, искомое число равно 3267. 

Ответ: а) 33; б) 3267.

Решение.
а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6. 

б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4. 

Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, состоящая не менее чем из пяти членов. Рассмотрим любые пять её последовательных членов. Разделим каждый член на наибольший общий делитель всех пяти членов. Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа ,, , ,  также образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Заметим, что числа , , , ,  не могут все быть четными или все делиться на 3. 

Если разность этой прогрессии делится на 3, то в ней не может быть члена, делящегося на 3 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэтому все члены прогрессии являются степенями двойки. Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1. Но в этом случае разность прогрессии нечётна, поэтому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует. 

Пусть теперь разность прогрессии  не делится на 3. Тогда если  делится на 3, то члены ,  и  не делятся на 3, а  делится на 3. Аналогично, если  делится на 3, то из чисел , , ,  на 3 будет делиться только . Наконец, если  делится на 3, то ни одно из чисел , , ,  не делится на 3. Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки. 

Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. Поэтому одно из этих чисел - единица. Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в этом случае на 3 делится только , поскольку единица — один из двух последовательных членов прогрессии, являющихся степенями двойки. Тогда , , ,  являются степенями двойки. Разность прогрессии , значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть. 

Ответ: а) да; б) 4.

Решение.
а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. 

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше . Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку  но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию. 

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9. 

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино. 

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится. 

По условию 


значит,  Тогда , поэтому доля девочек в группе: 


Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна . 

Ответ: а) да: б) 9; в) .

Решение.
Обозначим суммы чисел в группах , , ,  а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что . 

а) Чтобы число  равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей  равнялась 0, то есть . Сумма всех двенадцати чисел . С другой стороны, она равна , но 78 не делится на 4. Значит, . 

б) Чтобы число  равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности  равнялись 0. Значит, , но в этом случае каждая из сумм ,  не равна хотя бы одной из сумм ,  поэтому хотя бы три разности  не равны 0 и число  не меньше 3. Значит, . 

в) Выразим число  явно через , , , : 


В предыдущих пунктах было показано, что . Если , то  или . В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна  или , то есть нечётна, что неверно. 

Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ;  — число  равно 4. 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.