Решение.
Если целые числа  и  делятся на b, то целое число 

также делится на b. 

Тогда число 

тоже делится на b. 

Тогда число 

также делится на b. 

Таким образом, искомое b — простой делитель числа 80, то есть 2 или 5. Осталось проверить, для каких из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2. Если а кратно 5, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 5, поэтому дробь можно сократить на 5. 

Ответ: 2, 5.

Решение.
Если целые числа  и  делятся на b, то целое число 

также делится на b. 

Тогда число 

тоже делится на b. 

Тогда число 

также делится на b. Таким образом, искомое b — простой делитель числа 72, то есть 2 или 3. 

Осталось проверить для каких из найденных чисел можно подобрать a. 
Если a нечётное, то числитель и знаменатель данной дроби четны, поэтому дробь можно сократить на 2. 
Если a кратно 3, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 3, поэтому дробь можно сократить на 3. 

Ответ: 2, 3.

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 

.

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому  — количество целых чисел — делится на 7. По условию , поэтому . Таким образом, написано 49 чисел. 

б) Приведём равенство  к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных. 

в) (оценка). Подставим  в правую часть равенства , откуда . Так как , получаем: , , , ; то есть отрицательных чисел не более 22. 

в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число  и два раза написан 0. Тогда , удовлетворяет всем условиям задачи. 

Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.

Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 

.

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому  — количество целых чисел — делится на 6. По условию , поэтому 

.

Таким образом, написано 42 числа. 

б) Приведём равенство  к виду 

.

Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных. 

в) (оценка) Подставим  в правую часть равенства 

,

откуда 

.

Так как , получаем: 

, , , ;

то есть положительных чисел не более 15. 

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число −12 и два раза написан 0. 
Тогда 

указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи. 

Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15. 

Решение.
Сумма чисел кратна их наибольшему общему делителю, поэтому их наибольший общий делитель является делителем числа 43, откуда следует, что он равен 1. Тогда наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению. Обозначив искомые числа х и у, получаем систему 

решая которую, получаем числа 40 и 3. 

Ответ: 40 и 3.

Решение.
а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв  и  получим

  

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует. 
Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть  где  и  — взаимно простые натуральные числа. Тогда: 

. 

Так как  и  взаимно просты,  делится на  а значит,  откуда  Так как ,  Но  – целое, поэтому . Отсюда 

. 

Поэтому 
 

что противоречит требованию задачи. 
Ответ: а) да. б) нет. 

Решение.
Пусть  — количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит . Заметим, что  

Ответ: а) нет; б) нет; в) да. 

Решение.
Пусть  – количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит 1008. 

. Следовательно, 

Ответ: а) нет; б) нет; в) да. 

Решение.
а) Нет, поскольку  не делится на 2, а  не является квадратом натурального числа. 

б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку  не делится на 3. 

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку  не является кубом натурального числа. 

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то эти числа: но уравнение  не имеет целых корней. 

Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то эти числа: и  где  — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться 

но это не натуральное число. 

в) Да, например,