Решение.
1. Если все числа обоих наборов взяты с плюсами, то сумма максимальна и равна 

.

2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получены сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0. 

3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел: 

.

Ответ: 1 и 1035.

Решение.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма наибольшая и она равна 

.

2. Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0. 

3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведения, которая получится при раскрытии следующих скобок 

.

Ответ: 1 и 3045.

Решение.
Если число p является делителем числа , то оно является также и делителем числа . Но если число p является общим делителем чисел  и , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа 

.

Аналогично получаем: 

1) число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа 

;

2) число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа 

;

Число 60 имеет ровно три различных простых делителя — 2, 3 и 5. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем чисел  и . 

Если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 3, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число , то число 5 является общим делителем данных чисел. 

Ответ: 2, 3, 5.

Решение.
Если число p является делителем числа , то оно является также и делителем числа . Но если число p является общим делителем чисел  и , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа 

.

Аналогично получаем: 

1) число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа 

;

2) число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа 

;

Число 105 имеет ровно три различных простых делителя — 3, 5 и 7. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел  и . 

Если , то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 5, то число 5 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 7, то число 7 является общим делителем данных чисел. 

Замечание. Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел. 

Ответ: 3, 5, 7.

Решение.
Пусть , , а  — наибольший общий делитель чисел . 
Тогда . 

.

Заметим, что , значит а: . 
Поэтому 

.

Кроме того, 

, .

Ответ: .

Решение.
1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна 

.

2. Так как сумма оказалась нечетной, то чисто нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0. 

3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: 

.

Ответ: 1 и 4131.

Решение.
1. Так как , то  и . 

2. Пусть , тогда , откуда  и . 

3. Пусть , тогда , откуда  и . 

4. Далее конечным перебором значений,  находим все решения: 

n	k		m
3	3		4
3	2		нет решений
3	1		нет решений
2	3		нет решений
2	2		нет решений
2	1		3
1	3		нет решений
1	2		3
1	1		нет решений

Ответ: . 

Решение.
Если целые числа  и  делятся на b, то целое число 

также делится на b. Тогда число 

тоже делится на b. 

Тогда число 

также делится на b. 

Таким образом, искомое b — простой делитель числа 56, то есть 2 или 7. Осталось проверить, для каких из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2. Если а кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 7, поэтому дробь можно сократить на 7. 

Ответ: 2, 7.