Решение.
Рассмотрим функцию . Эта функция возрастает на промежутке  и убывает па промежутке . 

Исходное неравенство имеет вид , значит, график функции  на отрезке  должен находиться в пределах горизонтальной полосы:  

Отрезок  не должен лежать на участке монотонности функции , иначе приращение  на отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому её график не поместится в полосе ширины 20. Следовательно, , откуда . 

Наибольшее значение функции  на отрезке  достигается либо при , либо при . 

Наименьшее значение функции  на отрезке  достигается при . Получаем систему: 

,
откуда . 

Ответ: 

Решение.
Рассмотрим функции  и  Исследуем  на промежутке  

При  все значения функции  на промежутке  неположительны, а все значения функции  — положительны, поэтому при  уравнение не имеет решений на промежутке  

При  функция  возрастает на промежутке , Функция  убывает на этом промежутке, поэтому уравнение  всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку  и  

На промежутке  уравнение  принимает вид  Это уравнение сводится к уравнению  Будем считать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный ; при  уравнение имеет два корня. 

Пусть уравнение имеет два корня, то есть  Тогда оба корня меньше 4, поскольку при  значения функции  неположительны, а значения функции  положительны. По теореме Виета сумма корней равна 3, а произведение равно  Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда . 

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке : 

1) Нет корней при  
2) Один корень при  
3) Два корня при  и  
4) Три корня при  

Ответ: ; 

Решение.
Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение  на промежутке .

При  все значения функции  на промежутке  отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при  уравнение  не имеет решений на промежутке . 

При  функция  возрастает. Функция  убывает на промежутке , поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , откуда получаем , то есть . 

На промежутке  уравнение  принимает вид . Это уравнение сводится к уравнению . Будем считать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня. 

Если уравнение имеет два корня  и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень  принадлежит промежутку  тогда и только тогда, когда 

 то есть 
Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке : 

- нет корней при ; 
- один корень при  и ; 
- два корня при  и ; 
- три корня при . 

Ответ: .

Решение.
Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение  на промежутке .

При  все значения функции  на промежутке  отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при  уравнение  не имеет решений на промежутке . 

При  функция  возрастает. Функция  убывает на промежутке , поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , откуда получаем , то есть . 

На промежутке  уравнение  принимает вид . Это уравнение сводится к уравнению . Будем считать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня. 

Если уравнение имеет два корня  и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень  принадлежит промежутку  тогда и только тогда, когда 

 то есть 
Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке : 

- нет корней при ; 
- один корень при  и ; 
- два корня при  и ; 
- три корня при . 

Ответ: .

Решение.
Рассмотрим функцию . Эта функция возрастает на промежутке  и убывает па промежутке . 

Исходное неравенство имеет вид , значит, график функции  на отрезке  должен находиться в пределах горизонтальной полосы:  

Отрезок  не должен лежать на участке монотонности функции , иначе приращение  на отрезке длины 5 будет не меньше 25, поэтому её график не поместится в полосе ширины 20. Следовательно, , откуда . 

Наибольшее значение функции  на отрезке  достигается либо при , либо при . 

Наименьшее значение функции  на отрезке  достигается при . Получаем систему: 

,
откуда . 

Ответ: