Решение.
Пары  дающие решение системы, должны удовлетворять условиям 

Из второго уравнения системы находим 

.

Осталось заметить, что тогда 

.

Уравнение  при условиях  и  имеет при ,  решение . 
Тогда 

и из полученной системы находим 

, .

Ответ: при  решений нет, при  ;. 

Решение.
1. Функция f имеет вид 

а) при : , поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии ; 

б) при : , поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии . 

Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках: 

Графики обеих квадратичных функции проходят через точку . 

3. Функция  имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 

.

Ответ: ; . 

Решение.
Если , то уравнение  задаёт окружность , с центром в точке  радиуса 2, а если , то оно задаёт окружность  с центром в точке  того же радиуса (см. рис.). 

При положительных значениях параметра а уравнение  задает окружность  с центром в точке  радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность  имеет единственную общую точку с объединением окружностей  и . 

Из точки С проведём луч  и обозначим  и  точки его пересечения с окружностью , где  лежит между С и . 

Так как , то 

, .

При  или  окружности  и  не пересекаются. При  окружности  и имеют две общие точки. При  или  окружности  и  касаются. 

Из точки С проведём луч  и обозначим  и  точки его пересечения с окружностью , где  лежит между С и . 

Так как , то 

, .

При  или  окружности  и  не пересекаются. При  окружности  и имеют две общие точки. При  или  окружности  и  касаются. 

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность  касается ровно одной из двух окружностей  и , и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа  и . 

Ответ: 3; .

Решение.

Первое уравнение задаёт на плоскости окружности  и  радиуса ,симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки  и Второе уравнение — уравнение окружности радиуса  с центром . 

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность  касается одной из окружностей  и , но не имеет общих точек с другой окружностью. 

Из точки  проведём лучи  и  и обозначим  точки их пересечения с окружностями  и  (см. рис.). 

Заметим, что , поэтому и . Значит, если  то касается  но не имеет общих точек с  Если  то  касается  но не имеет общих точек с  

 

Сравним  и : 

 
Получаем  Значит, если  касается  в точке  то  пересекает  в двух точках. Аналогично, если  касается  в точке  то  пересекает  в двух точках. Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет. 

Ответ:  или 

Решение.
Запишем уравнение в виде  и рассмотрим графики функций  и . 

График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а. 

Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях. 

1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1). 

2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2). 

В первом случае , и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение , а должно иметь единственное решение. 

Приведём уравнение к стандартному виду: 

.

Из равенства нулю дискриминанта получаем 

,

откуда . 

Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение 

; .

Оно имеет единственное решение, только если . 

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Решение.
Запишем уравнение в виде  

Построим графики левой и правой частей уравнения (см. рис.) Из рисунка видно, что подходящих значений  ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку (−1; 0) при другом — касается отраженного участка параболы. 

Первое происходит при , а второе — когда уравнение  имеет единственный корень. Приравнивая дискриминант к нулю, находим  

Ответ: 

Решение.
Рассмотрим функции  и  Исследуем  на промежутке  

При  все значения функции  на промежутке  неположительны, а все значения функции  — положительны, поэтому при  уравнение не имеет решений на промежутке  

При  функция  возрастает на промежутке , Функция  убывает на этом промежутке, поэтому уравнение  всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку  

На промежутке  уравнение  принимает вид  Это уравнение сводится к уравнению  Будем считать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня. 

Пусть уравнение имеет два корня, то есть  Тогда оба корня меньше 5, поскольку при  значения функции  неположительны, а значения функции  положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно  Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда . 

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке : 

1) Нет корней при  
2) Один корень при  
3) Два корня при  и  
4) Три корня при  

Ответ: ;