Решение.


Неравенство  задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей  а уравнение  при  ― окружность с центром  и радиусом  (см. рисунок). 
Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и только тогда, когда радиус окружности меньше половины диагонали POквадрата APBO, т. е.,  откуда  
При  уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при  решением уравнения является пара которая не удовлетворяет неравенству  
Ответ:  

Решение.


Неравенство  задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей  а уравнение  при  ― окружность с центром  и радиусом  (см. рисунок). 

Окружность и полуплоскость имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда радиус окружности равен половине диагонали POквадрата APBO, т. е.,  откуда  
При  уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при  решением уравнения является пара которая не удовлетворяет неравенству  
Ответ:  

Решение.
Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение . 

На промежутке  функция  возрастает. Функция  убывает на этом промежутке, поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при . 

При  уравнение  принимает вид . При  левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При  это уравнение сводится к квадратному уравнению  дискриминант которого , поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня. 


Пусть уравнение имеет два корня, 

 и .
Тогда меньший корень  всегда меньше , а больший корень  не превосходит , если , то есть при . 


По теореме Виета: 

, ,
поэтому знаки корней  и  зависят от знаков выражений  и . Значит, при  оба корня отрицательны, при  один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при  оба корня неотрицательны. 


Таким образом, при  уравнение  не имеет корней при  и , имеет один корень при  и , имеет два корня при . 

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней: 

— нет корней при ; 
— один корень при  и ; 
— два корня при  и ; 
— три корня при . 

Ответ: .

Решение.
Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение . 

На промежутке  функция  возрастает. Функция  убывает на этом промежутке, поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при . 

При  уравнение  принимает вид . При  левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При  это уравнение сводится к квадратному уравнению  дискриминант которого , поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный ; при  уравнение имеет два корня. 


Пусть уравнение имеет два корня, 

 и .
Тогда меньший корень  всегда меньше , а больший корень  не превосходит , если , то есть при . 


По теореме Виета: 

, ,
поэтому знаки корней  и  зависят от знаков выражений  и . Значит, при  оба корня отрицательны, при  один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при  оба корня неотрицательны. 


Таким образом, при  уравнение  не имеет корней при  и , имеет один корень при  и , имеет два корня при . 

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней: 

— нет корней при ; 
— один корень при  и ; 
— два корня при  и ; 
— три корня при . 

Ответ: .

Решение.

1. Функция имеет вид: 
a) при :  а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии  
б) при :  а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. 

Все возможные виды графика функции  показаны на рисунках: 





2. Наименьшее значение функции  может приниматься только в точках 
 или  а если  — то в точке  

3. Наименьшее значение функции  больше 1 тогда и только тогда, когда 

  

  

 

Ответ: 

Решение.
Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений: 

При  второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При  получаем: 

 

Ясно (см. рисунок), что при  система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при  — два решения (координаты точек M и N). 

Ответ: . 

Решение.
Перепишем исходную систему в виде 

Отсюда приходим к системе 

или к системе 

Решая первое уравнение этой системы, находим, что 

.

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства 

,

решая которое, получаем . 
Ответ: .

Решение.
Полагая , , перепишем систему в виде 

Заметим, теперь что если пара  является решением системы, то и пара  — также решение этой системы. Следовательно, если  — решение системы такое, что  и , , то система будет иметь восемь решений. 

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: ,  или . 
А тогда, если ; то . Если же  или , то . 

Ответ: , .