Решение.
1. Функция  имеет вид: 
а) при  а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии  
б) при  а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. 
Все возможные виды графика функции  показаны на рисунках:2. Наименьшее значение функции  может принять только в точках  или  а если  то в точке  
3. Наименьшее значение функции  больше 1 тогда и только тогда, когда

Решение.
Преобразуем неравенство: 








Неравенство  определяет на плоскости  полосу, заключенную между прямыми  и  Неравенство  задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой. 


На рисунке видно, что на интервале  есть , не удовлетворяющие неравенству, только если  

Ответ: 

Решение.
Преобразуем неравенство: 







Неравенство  определяет на плоскости  полосу, заключенную между прямыми  и  Неравенство  задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой. 


На рисунке видно, что на интервале  есть , удовлетворяющие неравенству, только если  

Ответ: 

Решение.
Сделаем замену  поэтому  Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение, удовлтеворяющее условию  
Перейдем к системе: 

Заметим что ни при одном значении  число  не является корнем уравнения. 
Рассмотрим функцию  Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий: 
1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть  
2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть  
3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис. 3), то есть  
Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции : 


Решим систему 1: 
Решим систему 2: 
Решим систему 3: 

Ответ:  

Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на  

Сделаем замену  
\frac{z^2-2az+a}{1-2z}=3.
, поэтому  
Задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 
 
Перейдем к системе: 

Заметим, что ни при одном значении а число  не является корнем уравнения. 
Рассмотрим функцию  Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий: 
1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть  
2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть  
3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис. 3), то есть  

Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции : 


Решим систему: 
Решим систему: 
Решим систему: откуда  

Ответ:  

Решение.
Рассмотрим функции  и  Исследуем уравнение  на промежутке  
При  все значения функции  на промежутке  отрицательны, а все значения функции &mdash неотрицательны, поэтому при  уравнение  не имеет решений на промежутке  
При  функция  возрастает. Функция  убывает на промежутке  поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке  причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда  откуда получаем  то есть  
На промежутке  уравнение  принимает вид  Это уравнение сводится к уравнению  Будем считать, что  поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения  поэтому при  это уравнения не имеет корней; при  уравнения имеет единственный корень, равный 1; при  уравнение имеет два корня. 
Если уравнение имеет два корня  и  то есть  то больший корень  поэтому он принадлежит промежутку  Меньший корень принадлежит промежутку  тогда и только тогда, когда 
 то есть 
Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке : 
· нет корней при  
· один корень при  и при  
· два корня при  и при  
· три корня при  

Ответ: 

Решение.
Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители: 


Способ 1 (метод интервалов). 

Так как  то знаменатель исходной дроби имеет корни  и  Если числа 2,  и  попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2,  и  какие-то два совпали. 

1. Если  или  то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков:  (см. рисунок 1). 

2. Если  то  так как, согласно условию  
В этом случае множеством решений данного неравенства является луч  (см. рисунок 2). 


Способ 2 (графоаналитический). 

Данное неравенство задает на координатной плоскости Oxa три области (см. заштрихованные области на рисунке 3). 

Множество решений данного неравенства при каждом значении a есть множество абсцисс всех точек этих областей, ордината которых равна a. 

Это множество является лучом только при  

Ответ: