Решение.
Преобразуем систему: 

Первое уравнение задает части двух парабол: 

(см. рисунок). 

Второе уравнение задает окружность радиусом  с центром . На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки  и , пересекая параболу еще в четырех точках. 

При этом радиус окружности равен 4, откуда  или . 

Ответ: , 4.

Решение.
Преобразуем систему: 

Первое уравнение задает части двух парабол: 

(см. рисунок). 

Второе уравнение задает окружность радиусом  с центром . 

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях. 

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол. 

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс. 

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы . Получим: , откуда 

.

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: , откуда 

.

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9. 

Ответ: , , , . 

Решение.
Преобразуем систему: 

Первое уравнение задает части двух парабол: 

(см. рисунок). 

Второе уравнение задает окружность радиусом  с центром . На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы  в двух точках с положительными ординатами. 

Получаем уравнение , откуда 

,

которое должно иметь два различных положительных корня. Следовательно, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны: 

 откуда  

Ответ: , .

Решение.
Если , то уравнение  задает окружность  с центром в точке  радиуса 2, а если , то оно задаёт окружность  с центром в точке  того же радиуса (см. рис.). 

При положительных значениях параметра а уравнение  задаст окружность  с центром в точке  радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность  имеет единственную общую точку с объединением окружностей  и . 

Из точки С проведём луч  и обозначим  и  точки его пересечения с окружностью , где  лежит между С и . 
Так как , то 

, .

При  или  окружности  и  не пересекаются. При  окружности  и имеют две общие точки. При  или  окружности  и  касаются. 

Из точки С проведём луч  и обозначим  и  точки его пересечения с окружностью , где  лежит между точками  и . Так как , то 

, .

При  или  окружности  и  не пересекаются. При  окружности  и имеют две общие точки. При  или  окружности  и  касаются. 

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность  касается ровно одной из двух окружностей  и  и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа  и . 

Ответ: 3; . 

Решение.
1. Функция имеет вид: 

a) При  

 

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии  

б) При  

 

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. 

2. Если  принадлежит отрезку  то наименьшее значение функция может принимать только в точках  и  Если   — то еще и в точке  

3. Наименьшее значение функции  больше -24 тогда и только тогда, когда либо 

либо

Решим первую систему: 

 

Решим вторую систему: 

 или  

Ответ: 

Решение.
1. Функция имеет вид: 
a) при  


а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии  
б) при  



а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. 

2. Если  принадлежит отрезку  то наименьшее значение функция может принимать только в точках  и  Если   — то еще и в точке  

3. Наименьшее значение функции  больше  тогда и только тогда, когда либо 


либо 

Решим первую систему: 

  

Решим вторую систему: 


 или  

Ответ: 

Решение.
Неравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рисунок). Графиком уравнения (2) является окружность радиуса , центр которой ― точка ― лежит на прямой . Поскольку оба графика симметричны относительно прямой , система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
 будет равняться радиусу  данной окружности. Из треугольника POK находим: , где  ― угловой коэффициент прямой . Таким образом, , 
, , откуда 

.

Окончательно получаем: , ,  или . 

Ответ:  или . 

Решение.
Неравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рисунок). Графиком уравнения (2) является окружность радиуса , центр которой ― точка  ― лежит на прямой. Поскольку оба графика симметричны относительно прямой , система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой  будет равняться радиусу  данной окружности. 
Из треугольника POK находим: , где  ― угловой коэффициент прямой 
. Таким образом, , , , откуда 

.

Окончательно получаем: , ,  или . 

Ответ:  или .