Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник  с катетами ,  и гипотенузой . Пусть окружность с центром  радиуса  касается гипотенузы в точке , продолжений катетов  и  − в точках  и  соответственно, а  − полупериметр треугольника  Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что  и  поэтому 



а так как , то  Далее, пусть окружность с центром  радиуса  касается катета  в точке  а продолжений сторон  и  − в точка  и  соответственно. Рассуждая аналогично, получаем  Четырехугольники и  − квадраты, поэтому 



значит,  Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7. 
Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17. 

Предположим, что  и (рис. 1). 
Опустим перпендикуляр  из центра меньшей окружности на Тогда 





Следовательно, 





Пусть теперь  и  

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки  и  лежат на оной прямой. Следовательно, 




Ответ:  или 

Решение.
Пусть  — вершина данного угла,  и  — проекции точки  на стороны угла,    и  — точки, в которых прямая, проходящая через точку  пересекает стороны соответственно  и  данного прямого угла. Обозначим  Тогда  


С другой стороны, 

Из системы уравнений 

Находим, что x =8, y=12 или x=24, y=4. Следовательно, 

или 

Ответ:  

Решение.
Обе точки  и  не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок  не может касаться вневписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольнике. 
Пусть обе точки  и  лежат на сторонах треугольника (рис. 1). 
Четырёхугольник  — вписанный, следовательно,  
Значит, треугольник  подобен треугольнику  так как угол  — общий. Пусть коэффициент подобия равен  тогда  
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника  равны: 
 
Подставляя известные значения сторон, находим  Следовательно, 
Пусть точка  лежит на продолжении стороны (рис. 2). Углы  и  равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник  подобен треугольнику  так как угол  — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть треугольники  и  равны, поэтому  Заметим, что  и точка  действительно лежит на продолжении стороны  
Если точка  лежит на продолжении стороны  то  но аналогично предыдущему случаю получаем  Значит, этот случай не достигается.
Ответ: 

Решение.
Случай 1. Угол A ― острый (см. рисунок 1). 

Имеем:  откуда 
 Далее находим: 
а) из прямоугольного треугольника ABM:  
б) из четырехугольника AMHN:  



Случай 2. Угол A ― тупой (см. рисунок 2). 

Аналогично случаю 1 имеем: 

а)  
б)  
в)  
Ответ:  или  

Решение.
Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BCD находим: 



Опустим из точки O перпендикуляр OK на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP находим из прямоугольного треугольника OKP:  
1 случай (точка D лежит между точками A и С, см. рис. 1): 










2 случай (точка C лежит между точками A и D, см. рис. 2): 




Ответ:  или  

Решение.
Пусть точки O и P ― центры окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH соответственно, R и r ― радиусы этих окружностей, а точки E и F ― точки, в которых окружности касаются отрезка MH. Из прямоугольных треугольников KMH и MNH находим: 


Опустим из точки O перпендикуляр OK на прямую FP (см. рис. 1, 2). Искомое расстояние OP находим из прямоугольного треугольника OKP:  

1 случай (точка H лежит между точками K и N, см. рис. 1):









2 случай (точка N лежит между точками K и H, см. рис. 2):




Ответ:  или  

Решение.
Пусть  — высота треугольника ,  и  — радиус и центр вписанной окружности, , , поэтому . Найдем площадь, полу периметр и радиус вписанной окружности треугольника : 
 
Тогда  Кроме того, по теореме Пифагора 

Пусть окружность с центром в точке  касается боковой стороны  равнобедренного треугольника  и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен , поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой  обозначим . 

Пусть точки  и  лежат по разные стороны от точки  (рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому  и  — биссектрисы смежных углов  и  соответственно. Значит,  и , поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники  и  подобны с коэффициентом . Поэтому 


Пусть точки  и  лежат по одну сторону от точки  (рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи  и  совпадают и являются биссектрисой угла . Значит, прямоугольные треугольники  и  подобны с коэффициентом  Тогда 



Ответ: