Решение.
Пусть точка O — центр куба, а M — середина . , а MO — средняя линия треугольника , поэтому . Треугольник  — равносторонний, , следовательно, искомый угол равен углу . 

Примем длины ребер куба за 1. Найдем стороны треугольника . Из треугольника , находим  из треугольника  находим 

. ,

поскольку O — середина диагонали . Теперь применим к треугольнику  теорему косинусов: 

.

Ответ: . 

Решение.
Обозначим  середину ребра  (см. рис.). Так как треугольник равносторонний, а треугольник  — равнобедренный, отрезки  и перпендикулярны  Следовательно,  — линейный угол двугранного угла с гранями  и  
Из треугольника  найдем  
Из треугольника  найдем  
Из треугольника  найдем:  
Искомый угол равен  

Ответ:

Решение.
Плоскости ABC и  имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр AH кBD. По теореме о трех перпендикулярах . Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и , — это угол . Из прямоугольного треугольника BAD находим: 

.

Из прямоугольного треугольника  находим: 

.

Значит, искомый угол равен . 
Ответ: . 

Решение.

Заметим, что  Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов:. 

Основание пирамиды лежит в плоскости , поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки  на эту плоскость. Опустим перпендикуляр  на прямую . Поскольку  и , в силу того, что , отрезок  является высотой пирамиды: . 

Треугольник AME подобен треугольнику , значит, 


. 

Ответ: 50.

Решение.
Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле . Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка  — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол  — искомый. 

 где O — центр основания, значит,  — средняя линия треугольника ASO поэтому . Тогда  и  Из прямоугольного треугольника  находим: 

Из прямоугольного треугольника  находим: 

Значит, искомый угол равен  
Ответ: 

Решение.
Пусть N — середина ребра BC, а M — середина AS. Прямая AS проецируется на плоскость основания в прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка  — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямойAM, следовательно, угол  — искомый. Поскольку , где O — центр основания,  — средняя линяя треугольника SAO. 

Тогда

Кроме того,

Из прямоугольного треугольника  находим: 

.

Ответ: . 

Решение.
Пусть и MK — средняя линия треугольника CDH. Тогда , значит,  и, следовательно, . Кроме того, . 

Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем: 

; ; 

; .

Ответ: . 

Решение.
Пусть, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника ADO. Тогда , , значит,  и, следовательно,  — искомый. 

Кроме того, , откуда . 
Далее имеем: 

; 

.

Ответ: . 

Решение.
Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку  и  плоскость SACперпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку Aперпендикулярно BD. 

Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный,  Так как треугольник ASO — равнобедренный,  Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD: 

.

По теореме косинусов: 

.

Отсюда

.

Ответ: . 

Примечание. 
Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник MOD — прямоугольный: 

Решение.

Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углуSBE. Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: . Следовательно, . 
Ответ: .