математика C2. Углы и расстояния в пространстве - Мои статьи - Каталог статей

» Меню сайта

» Категории раздела

Мои статьи [347]

» Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

» Форма входа

Главная » Статьи » Мои статьи

математика C2. Углы и расстояния в пространстве

Тип

Условие

C2 № 485988. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро $\text{[math]}$ сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

Решение.

Построим сечение ADMK, где K — середина ребра SB. Прямая BCпараллельна AD, значит, искомое расстояние равно расстоянию до точки N плоскости ADM, где N — середина BC.

Пусть P — середина AD. Рассмотрим сечение NSP:

$\text{[math]}$ .

Значит, треугольник SNP равносторонний. Искомое расстояние равно расстоянию от N до PQ, где Q — середина SN, PQ — медиана и высота треугольника SNP. Поэтому искомое расстояние равно NQ = 0,5SN = 1.

Ответ: 1.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 485992. Дана правильная четырехугольная пирамида $\text{[math]}$ Боковое ребро $\text{[math]}$ сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки $\text{[math]}$ до плоскости $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — середина ребра $\text{[math]}$

Решение.

Построим сечение ADMK, где K — середина ребра SB. Покажем, что искомое расстояние равно длине SQ, где Q — середина апофемы SN. Действительно, пусть P — середина стороны AD, AD перпендикулярна SPи NP, поэтому AD перпендикулярна плоскости SNP, а тогда и KM — средняя линия боковой грани — перпендикулярна PQ. С другой стороны,SQ перпендикулярна KM. Тогда SQ — перпендикуляр к плоскости сечения, его длина равна искомому расстоянию.

Рассмотрим сечение NSP. Имеем:

$\text{[math]}$ .
Значит, треугольник SNP равносторонний. Искомое расстояние равно SQ= 0,5SN = 1.

Ответ: 1.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 485997. Основание прямой четырехугольной призмы $\text{[math]}$ — прямоугольник $\text{[math]}$ в котором $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра $\text{[math]}$ перпендикулярно прямой $\text{[math]}$ если расстояние между прямыми $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ равно $\text{[math]}$

Решение.

Расстояние между прямыми $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна $\text{[math]}$ Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Следовательно, искомый угол равен углу между ребром $\text{[math]}$ и прямой $\text{[math]}$ .

Рассмотрим треугольник $\text{[math]}$ Его катеты равны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Поэтому

$\text{[math]}$

Ответ: 60 $\text{[math]}$ .

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 486000. В правильной треугольной пирамиде $\text{[math]}$ с основанием $\text{[math]}$ точка $\text{[math]}$ — середина ребра $\text{[math]}$ точка $\text{[math]}$ — середина ребра $\text{[math]}$ Найдите угол между плоскостями $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ если $\text{[math]}$

Решение.

Проведем перпендикуляр $\text{[math]}$ к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ — середина $\text{[math]}$ Из точки $\text{[math]}$ опустим перпендикуляр $\text{[math]}$ на плоскость основания. Точка $\text{[math]}$ лежит на медиане $\text{[math]}$ треугольника $\text{[math]}$ Прямая $\text{[math]}$ параллельна прямой пересечения плоскостей $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Следовательно, $\text{[math]}$ — линейный угол искомого угла между плоскостями.

Далее находим:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Откуда $\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500001. Основанием прямого параллелепипеда $\text{[math]}$ является ромб ABCD, сторона которого равна $\text{[math]}$ а угол ВАD равен $\text{[math]}$ . Найдите расстояние от точки А до прямой $\text{[math]}$ , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

Решение.

Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую $\text{[math]}$ и проведем в плоскости грани $\text{[math]}$ прямую EF, параллельную прямой $\text{[math]}$ . Так как $\text{[math]}$ , то и $\text{[math]}$ , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$ , а, следовательно, и $\text{[math]}$ согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1) из $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ;
2) из $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Ответ: 10.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500007. Основанием прямой призмы $\text{[math]}$ является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна $\text{[math]}$ а угол ACB равен $\text{[math]}$ . Найдите расстояние от точки А до прямой $\text{[math]}$ , если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Решение.

Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую $\text{[math]}$ и проведем в плоскости грани $\text{[math]}$ прямую EF, параллельную прямой $\text{[math]}$ . Так как $\text{[math]}$ , то и $\text{[math]}$ , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$ , а, следовательно, и $\text{[math]}$ согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:
1) из $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ;
2) из $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Ответ: 15.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500024. В прямоугольном параллелепипеде $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Найдите угол между прямой $\text{[math]}$ и плоскостью $\text{[math]}$ .

Решение.

Плоскости $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ перпендикулярны. Перпендикуляр из точки $\text{[math]}$ к плоскости $\text{[math]}$ лежит в плоскости $\text{[math]}$ и пересекает прямую $\text{[math]}$ в точке E. Значит, искомый угол равен углу $\text{[math]}$ . В прямоугольном треугольнике $\text{[math]}$ катет $\text{[math]}$ , гипотенуза $\text{[math]}$ . Поэтому

$\text{[math]}$ .
Тогда

$\text{[math]}$ .

Ответ: $\text{[math]}$ .

Примечание.
Возможны другие формы ответа:

$\text{[math]}$

Тип

Условие

C2 № 500474. Точка $\text{[math]}$ — середина ребра $\text{[math]}$ куба $\text{[math]}$ . Найдите площадь сечения куба плоскостью $\text{[math]}$ , если ребра куба равны 4.

Решение.

Прямая $\text{[math]}$ пересекает прямую $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ . Прямая $\text{[math]}$ пересекает ребро $\text{[math]}$ в его середине — точке $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ — сечение куба плоскостью $\text{[math]}$ .

В равнобедренном треугольнике $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и высота $\text{[math]}$ .

Поскольку $\text{[math]}$ — средняя линия треугольника $\text{[math]}$ , получаем:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Ответ: 18.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500588. В правильной четырёхугольной призме $\text{[math]}$ стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны $\text{[math]}$ . На ребре $\text{[math]}$ отмечена точка $\text{[math]}$ так, что $\text{[math]}$ . Найдите угол между плоскостями $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Решение.

Прямая $\text{[math]}$ пересекает прямую $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ . Плоскости $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ пересекаются по прямой $\text{[math]}$ .

Из точки $\text{[math]}$ опустим перпендикуляр $\text{[math]}$ на прямую $\text{[math]}$ , тогда отрезок $\text{[math]}$ (проекция $\text{[math]}$ ) перпендикулярен прямой $\text{[math]}$ . Угол $\text{[math]}$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Поскольку $\text{[math]}$ , получаем:

$\text{[math]}$
Из подобия треугольников $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ находим:

$\text{[math]}$
В прямоугольном треугольнике $\text{[math]}$ с прямым углом $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ , откуда высота

$\text{[math]}$ .
Из прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ с прямым углом $\text{[math]}$ получаем:

$\text{[math]}$ .
Ответ: $\text{[math]}$ .

Категория: Мои статьи | Добавил: 123 (23.05.2013)

Просмотров: 6105 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

» Поиск

» Друзья сайта