математика C2. Углы и расстояния в пространстве - Мои статьи - Каталог статей

» Меню сайта

» Категории раздела

Мои статьи [347]

» Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

» Форма входа

Главная » Статьи » Мои статьи

математика C2. Углы и расстояния в пространстве

Тип

Условие

C2 № 500639. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Решение.

Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN иSN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины),

$\text{[math]}$ .
Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна $\text{[math]}$ .

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную $\text{[math]}$ , и вычислим площадь:

$\text{[math]}$ .

Ответ: $\text{[math]}$ .

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500643. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Решение.

Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN иSN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),

$\text{[math]}$ .
Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 2. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна $\text{[math]}$ .

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, которая, по теореме Пифагора, равна $\text{[math]}$ , и вычислим площадь:

$\text{[math]}$ .

Ответ: $\text{[math]}$ .

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500874. В правильной четырехугольной пирамиде $\text{[math]}$ с основанием $\text{[math]}$ проведено сечение через середины ребер $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ и вершину $\text{[math]}$ найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Решение.
Изобразим указанное в условии сечение — треугольник $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Проведем в треугольнике $\text{[math]}$ высоту $\text{[math]}$ Точка $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ .
Значит, $\text{[math]}$

Из треугольника $\text{[math]}$ находим

$\text{[math]}$

Из треугольника $\text{[math]}$ находим

$\text{[math]}$

Тогда

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500898. В правильной четырехугольной пирамиде $\text{[math]}$ с основанием $\text{[math]}$ проведено сечение через середины ребер $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ и вершину $\text{[math]}$ найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Решение.

Изобразим указанное в условии сечение — треугольник $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Проведем в треугольнике $\text{[math]}$ высоту $\text{[math]}$ Точка $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ .
Значит, $\text{[math]}$

Из треугольника $\text{[math]}$ находим

$\text{[math]}$

Из треугольника $\text{[math]}$ находим

$\text{[math]}$

Тогда

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500918. В правильной треугольной пирамиде $\text{[math]}$ с основанием $\text{[math]}$ сторона основания равна 8, а угол $\text{[math]}$ равен 36°. На ребре $\text{[math]}$ взята точка $\text{[math]}$ так, что $\text{[math]}$ — биссектриса угла $\text{[math]}$ Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Решение.

Нужное сечение — треугольник $\text{[math]}$ .
Рассмотрим треугольник $\text{[math]}$ Он равнобедренный, $\text{[math]}$ , поэтому $\text{[math]}$ . Значит, $\text{[math]}$ .
Рассмотрим теперь треугольник $\text{[math]}$ . Сумма его углов $\text{[math]}$ , значит, $\text{[math]}$ . Следовательно, треугольник $\text{[math]}$ равнобедренный, и поэтому $\text{[math]}$ Аналогично находим, что $\text{[math]}$
Таким образом, треугольник $\text{[math]}$ равносторонний со стороной 8. Его площадь равна $\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500962. В правильной треугольной призме $\text{[math]}$ стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины $\text{[math]}$ и середину ребра $\text{[math]}$ . Найдите его площадь.

Решение.

Обозначим через и $\text{[math]}$ средины ребер $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.
По Теореме о средней линии треугольника $\text{[math]}$ так что прямые $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию $\text{[math]}$
Основания трапеции $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

$\text{[math]}$ .

Проведем в трапеции высоту $\text{[math]}$ Отрезок $\text{[math]}$ равен полуразности оснований трапеции:

$\text{[math]}$

Следовательно, высота трапеции $\text{[math]}$ Зная её, находим площадь трапеции:
$\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500968. В правильной треугольной призме $\text{[math]}$ стороны основания равны 8, боковые рёбра равны $\text{[math]}$ . Изобразите сечение, проходящее через вершины $\text{[math]}$ и середину ребра $\text{[math]}$ . Найдите его площадь.

Решение.

Обозначим через $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ средины ребер $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.
По теореме о средней линии треугольника $\text{[math]}$ так что прямые $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ лежат в одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию $\text{[math]}$
Основания трапеции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону:

$\text{[math]}$

Проведем в трапеции высоту $\text{[math]}$ Отрезок $\text{[math]}$ равен полуразности оснований трапеции:

$\text{[math]}$

Следовательно, высота трапеции $\text{[math]}$ Зная её, находим площадь трапеции:
$\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501045. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребраSA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB=8, SC=10.

Решение.
Проведем из точки $\text{[math]}$ перпендикуляр $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ — середина MK. Точка Q является серединой высоты $\text{[math]}$ Прямая $\text{[math]}$ параллельна прямой прямой пересечения плоскостей $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Следовательно, $\text{[math]}$ — искомый линейный угол. Найдем $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Значит, $\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501124. В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C'. Найдите его площадь

Решение.

Параллельные грани оснований сечение пересекает по параллельным прямым, поэтому сечение — трапеция. Пусть точка М — середина A'C', точка N — серединаB'С'. Боковые стороны трапеции ABNM являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников AA'M и BB'N, катеты которых равны 3 и 4. Тем самым, трапеция является равнобедренной, а ее боковые стороны равны 5.

Отрезок MN — средняя линия треугольника A'B'C', поэтому MN = 0,5A'C' = 3. Пусть MK— высота трапеции, тогда

$\text{[math]}$
Следовательно,
$\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501125. В правильной шестиугольный призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.

Решение.

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:

$\text{[math]}$ откуда $\text{[math]}$

Плоскость $\text{[math]}$ проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $\text{[math]}$ Для координат точек $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеем систему уравнений:

$\text{[math]}$

Не теряя общности, положим $\text{[math]}$ тогда $\text{[math]}$ Уравнение плоскости $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ вектор нормали к ней $\text{[math]}$ Тогда искомый угол между прямой $\text{[math]}$ и плоскостью $\text{[math]}$ равен

$\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Приведем другое решение.

$\text{[math]}$ — искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ так как $\text{[math]}$ в силу того, что $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$
Рассмотрим $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ (т. к. $\text{[math]}$ — диагональ квадрата $\text{[math]}$ )
$\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Категория: Мои статьи | Добавил: 123 (23.05.2013)

Просмотров: 13746 | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

» Поиск

» Друзья сайта