математика C2. Углы и расстояния в пространстве - Мои статьи - Каталог статей

» Меню сайта

» Категории раздела

Мои статьи [347]

» Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

» Форма входа

Главная » Статьи » Мои статьи

математика C2. Углы и расстояния в пространстве

Тип

Условие

C2 № 501216. Расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и СС₁ равно 8. Найдите расстояние от прямой AA₁ до плоскости BС₁С, если известно, что двугранный угол при ребре AA₁ равен 60°.

Решение.

Поскольку ABCA₁B₁C₁ ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ равно AB, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и СС₁ равно AC. Кроме того, уголBAC ― линейный угол двугранного угла при ребре AA₁.

Таким образом, $\text{[math]}$
Пусть отрезок AH ― высота основания ABC (см. рисунок). Поскольку $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой AA₁ до параллельной ей плоскости BС₁С.

Рассматривая треугольник ABC, находим:

1. $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$
3. $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501396. Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.

Решение.

Опустим из точки $\text{[math]}$ перпендикуляр $\text{[math]}$ на прямую $\text{[math]}$ Так как $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ а, значит, отрезок $\text{[math]}$ ― высота прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ , откуда $\text{[math]}$ Далее находим:
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Ответ: 12.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501416. Длины ребер BC, BB₁ и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 8, 12 и 9. Найдите расстояние от вершины D₁ до прямой A₁C.

Решение.

Опустим из точки D₁ перпендикуляр D₁E на прямую A₁C. Так как $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ а, значит, отрезок D₁E ― высота прямоугольного треугольника A₁CD₁, откуда $\text{[math]}$ Далее находим:
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501436. В правильной треугольной призме $\text{[math]}$ боковое ребро равно $\text{[math]}$ , а ребро основания равно $\text{[math]}$ . Точка $\text{[math]}$ — середина ребра $\text{[math]}$ . Найдите объём пятигранника $\text{[math]}$ .

Решение.
Пусть $\text{[math]}$ — высота треугольника $\text{[math]}$ . Тогда $\text{[math]}$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме $\text{[math]}$ и, значит, $\text{[math]}$ . Пятигранник $\text{[math]}$ — четырехугольная пирамида с вершиной в точке $\text{[math]}$ и основанием $\text{[math]}$ — прямоугольной трапецией. Высота пирамиды $\text{[math]}$ . Площадь основания равна
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ответ: 3.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501456. В правильной треугольной призме $\text{[math]}$ боковое ребро равно $\text{[math]}$ , а ребро основания равно $\text{[math]}$ . Точка $\text{[math]}$ — середина ребра $\text{[math]}$ . Найдите объём пятигранника $\text{[math]}$ .

Решение.
Пусть $\text{[math]}$ - высота треугольника $\text{[math]}$ тогда $\text{[math]}$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме $\text{[math]}$ и, значит, $\text{[math]}$ Пятигранник $\text{[math]}$ - четырёхугольная пирамида с вершиной в точке $\text{[math]}$ и основанием $\text{[math]}$ - прямоугольной трапецией.
Высота пирамиды $\text{[math]}$ Площадь основания равна
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ответ: 6

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 501555. Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, $\text{[math]}$ Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM= 1:3. Вычислите объём пирамиды MPTA.

Решение.

Проведём высоту AD треугольника ABC. В тоже время AD — высота пирамиды МРТA, опущенная из вершины A на плоскость основанияМРТ.

$\text{[math]}$

Площадь треугольника МРТ составляет $\text{[math]}$ Следовательно,

$\text{[math]}$

Найдём объём пирамиды:

$\text{[math]}$

Ответ: 24.

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500132. В правильной четырёхугольной призме $\text{[math]}$ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре $\text{[math]}$ отмечена точка $\text{[math]}$ так, что $\text{[math]}$ . Найдите угол между плоскостями $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Решение.

Прямая $\text{[math]}$ пересекает прямую $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ . Плоскости $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ пересекаются по прямой $\text{[math]}$ .

Из точки $\text{[math]}$ опустим перпендикуляр $\text{[math]}$ на прямую $\text{[math]}$ , тогда отрезок $\text{[math]}$ (проекция $\text{[math]}$ ) перпендикулярен прямой $\text{[math]}$ . Угол $\text{[math]}$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Поскольку $\text{[math]}$ , получаем:

$\text{[math]}$
Из подобия треугольников $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ находим:

$\text{[math]}$
В прямоугольном треугольнике $\text{[math]}$ с прямым углом $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ , откуда высота

$\text{[math]}$ .
Из прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ с прямым углом $\text{[math]}$ получаем:

$\text{[math]}$ .
Ответ может быть представлен и в другой форме: $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$ .

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500448. В правильной шестиугольной призме $\text{[math]}$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки $\text{[math]}$ до плоскости $\text{[math]}$ .

Решение.

Прямые $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ перпендикулярны прямой $\text{[math]}$ . Плоскость $\text{[math]}$ , содержащая прямую $\text{[math]}$ , перпендикулярна плоскости $\text{[math]}$ . Значит, искомое расстояние равно высоте $\text{[math]}$ прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ , в котором $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$
Ответ: $\text{[math]}$ .

Спрятать решение

Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке

Тип

Условие

C2 № 500468. В правильной шестиугольной призме $\text{[math]}$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки $\text{[math]}$ до плоскости $\text{[math]}$ .